Sistemas de numeración

Es habitual que, cuando pensamos en las operaciones aritméticas, nos remitimos sólo al sistema decimal que se usa en la vida diaria. Sin embargo, existen otros muchos sistemas de numeración, algunos de los cuales forman parte también de las actividades cotidianas. Así, el sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores, y el sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes, entre otras tareas.

Elementos de los sistemas de numeración

En esencia, un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas.

En la actualidad, se usan predominantemente sistemas de numeración de carácter posicional, donde cada numeral o guarismo representa un valor distinto según la posición que ocupa en la cadena numérica (por ejemplo, el numeral 1 significa unidad en la cantidad 1, pero es decena en 13, centena en 148, etcétera).

En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales:

  • La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa dos.
  • Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1.
  • Las normas de combinación de los numerales para formar los números. Según ello, a cada cifra se le asocian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica.

Dado un número n escrito como la sucesión de numerales a0a1a2...an-1, an en la base b, puede descomponerse en forma polinómica del modo siguiente:

Nombre de las posiciones relativas en el sistema decimal.

El sistema decimal

El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de la actividad humana, se distingue por las siguientes características:

  • Utiliza una base 10.
  • Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas.
  • Las posiciones relativas de los números se denominan unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc.

La forma polinómica de un número en el sistema decimal es la siguiente:

Por ejemplo, en esta forma, 3.892 se escribiría como 2 + 9 × 10 + 8 × 102 + 3 × 103.

El sistema binario

Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1.

Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitales, es sin embargo un tanto engorroso en la escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga. Así, por ejemplo, el número 15 de la base decimal se expresaría en base binaria como 1111, según el esquema de descomposición mostrado.

Expresión del número 15 en base binaria.

Cambios de base

Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen habitualmente mediante una conversión intermedia a la base decimal. Así, por ejemplo, para escribir 341(5 en base 4 se procedería del modo siguiente:

  • Se convertiría 341(5 a base 10.
  • Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4.

Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por ejemplo:

Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.

Expresión del número 96 en base 4.

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