Estudio de funciones

En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias de crecimiento y decrecimiento dentro de un marco concreto de valores.

Dominio, simetrías y corte con los ejes

Para estudiar una función, lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.

Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes:

  • Una función f (x) es simétrica con respecto al origen de coordenadas si se cumple que f (-x) = - f (x), y es simétrica con respecto al eje vertical cuando f (-x) = f (x). Para determinar otros tipos de simetría se pueden realizar giros y traslaciones de los ejes del sistema de referencia en el sentido que corresponda.

Ejemplos de funciones simétricas.

  • Una función es periódica si se repite a intervalos fijos del valor de la variable, es decir, si f (x) = f (x + p) = f (x ¿ p) = f (x + -p) = f (x - 2p) = ..., siendo p el periodo de la función.
  • El corte de una función con el eje horizontal se determina haciendo f (x) = 0 y resolviendo la ecuación resultante. La intersección con el eje vertical se obtendrá calculando el valor de la función correspondiente a aquel para el cual se anula la variable independiente: y = f (0).

Crecimiento y decrecimiento

Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento. Una función se denomina estrictamente creciente en un intervalo (a, b) cuando para todo par de puntos de dicho intervalo, denotados por x1 y x2, se verifica que si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2). Análogamente, será estrictamente decreciente en el intervalo si para todo x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).

Dada una función derivable en un intervalo (a, b), dicha función será:

  • Creciente en el intervalo, si su derivada es positiva para todo punto del intervalo.
  • Decreciente, cuando su derivada es negativa en todos los puntos del intervalo.
  • Constante, si la derivada es nula en todo el intervalo.

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Los puntos del dominio de una función en los que se modifica la tendencia de crecimiento de la misma se denominan máximos y mínimos relativos.

  • Un máximo relativo en un intervalo es todo punto del mismo en el que una función pasa de creciente a decreciente.
  • Se llama mínimo relativo de una función en un intervalo a cualquiera de los puntos del mismo en que la función pasa de decreciente a creciente.

Para determinar exactamente la posición de los máximos y mínimos relativos de una función derivable en un intervalo, se procede al siguiente análisis:

  • La primera derivada de la función en el punto analizado debe ser nula[f ¿ (a) = 0].
  • Si la segunda derivada es positiva [f ¿ (a) > 0], el punto es un mínimo relativo.
  • Cuando la segunda derivada es negativa [f ¿ (a) < 0], se trata de un máximo relativo.

Si esta segunda derivada es nula, se estudia la tercera derivada, con las siguientes posibilidades:

  • Cuando esta tercera derivada es distinta de cero [f ¿¿ (a) ¹ 0], se trata de un punto de inflexión, esto es, un punto en el que la curva cambia de concavidad (ver t46).
  • Si esta derivada tercera fuera también nula, habría que analizar las derivadas de orden superior para determinar si el punto es un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión.

Reglas de la optimización de funciones

Para optimizar una función matemática que describe un problema real se aplican normalmente las siguientes reglas prácticas operativas:

  • Se determina la expresión algebraica de la función analizada según los datos disponibles del problema.
  • Se simplifica esta expresión para reducirla a una función de una sola variable.
  • Se estudia la posición de los máximos, los mínimos y otros puntos singulares.
  • Se interpretan los resultados dentro del contexto definido por el problema.

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