Cálculo vectorial

El desarrollo científico de la física se ha sustentado modernamente en los principios de las matemáticas. Uno de los conceptos básicos para la definición de las magnitudes físicas es el vector, una entidad dotada de módulo, dirección y sentido en la que se inspira la elaboración de los modelos y postulados más elementales de la física teórica.

Magnitudes escalares y vectoriales

En la definición de las medidas físicas se usan dos tipos de magnitudes:

  • Magnitudes escalares, que quedan completamente definidas mediante un número, como pueden ser la temperatura, el tiempo y la densidad.
  • Magnitudes vectoriales, para las que se precisa un valor numérico, una dirección y un sentido de aplicación, tal como sucede con la velocidad, la aceleración o la fuerza.

Vectores

Las magnitudes vectoriales se especifican mediante entidades matemáticas llamadas vectores, que se caracterizan por tres propiedades:

  • Módulo, una cantidad numérica siempre positiva que expresa la intensidad de la magnitud. Para el vector , su módulo se expresa || o, simplemente, a.
  • Dirección, o recta que contiene al segmento que mide la magnitud vectorial.
  • Sentido, u orientación de la magnitud dentro del segmento de dirección.

Suma y diferencia de vectores

Cuando se opera con magnitudes vectoriales se han de cumplir los principios del álgebra vectorial. La operación más sencilla realizada con vectores es la suma, que produce un nuevo vector construido, de forma que:

  • Se coloca el origen del segundo vector sobre el extremo del primero.
  • En la posición anterior, el vector suma se obtiene de modo que su origen coincide con el del primero y su extremo con el extremo del segundo vector sumado.

Suma de dos vectores. (a) Se lleva el segundo vector sobre el extremo del primero. (b) Después, se traza el vector suma

Otras dos operaciones sencillas del álgebra vectorial son las siguientes:

  • La diferencia entre vectores, que se obtiene como la suma del primer vector y del opuesto del segundo (aquel vector que tiene igual módulo y dirección que éste pero sentido contrario).
  • El producto de un escalar (un número) por un vector produce un nuevo vector con la misma dirección y sentido que el original, módulo igual al del vector multiplicado por el número y sentido idéntico cuando el escalar es positivo y opuesto si es negativo.

Representación cartesiana de vectores

Las magnitudes vectoriales pueden representarse en el plano o en el espacio definiendo un sistema de referencia con un origen O y dos (en representación planar) o tres (en el espacio) ejes mutuamente perpendiculares de referencia, llamados cartesianos y denotados comúnmente por las letras X, Y, Z. Sobre cada uno de estos ejes se define un vector unitario simbolizado por , respectivamente (o comúnmente ).

Componentes de un vector en un sistema de referencia tridimensional.

En función de su representación cartesiana, un vector se expresa como:

Producto escalar de dos vectores

Una operación de gran importancia en física es el producto escalar de dos vectores, que es un escalar que se calcula como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo a que forman entre sí:

Si se escriben los vectores en función de sus componentes , , el producto escalar se puede obtener como:

Producto vectorial de dos vectores

En los modelos físicos se utiliza una importante operación del álgebra vectorial denominada producto vectorial de dos vectores (simbolizado por X o por L) cuyo resultado es un nuevo vector con las siguientes características:

  • El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman entre sí.
  • La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que forman los dos vectores iniciales.
  • El sentido del producto vectorial es aquel que seguiría un tornillo de rosca a derechas si se llevara desde el primer vector al segundo.

Escrito en función de los componentes de los vectores, el producto vectorial se expresa como:

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