Ekuazioen ebazpena matrizeen bidez

XVIII. eta XIX. mendeetan, matrizeen teorian oinarritutako lehen mailako ekuazio-sistemak ebazteko hainbat metodo garatu ziren. Antzinatik erabilitako prozedura grafikoei eta aljebraikoei batu zitzaizkien Gabriel Cramer-ek eta Eugéne Rouché-k ia mende bat geroago proposatu zuten metodo garatuagoak.

Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak

Lehen mailako ekuazio linealen sistemak ebazteko, hiru prozedura-mota hauek erabiltzen dira oro har:

  • Metodo aljebraikoak, ordezpen-, berdinketa- edo laburketa-metodotzat hartuta (6. gaia ikusi).
  • Metodo grafikoak, sistemako ekuazio bakoitza plano bati dagokio, sistema hiru ezezagunetakoa izanez gero; horrela, sistemaren emaitzak eta plano guztien ebaki-puntuak parekatuko dira (6. gaia ikusi).
  • Matrize-metodoak, matrizeen teoria erabiltzean oinarriturik.

Matrize-metodoak

Ekuazio linealetako sistema bat honela adieraz daiteke, matrizeen bidez:

C × X = B

C koefizienteen matrizea da, X ezezagunena eta B termino askeena (15 gaia ikusi).

Matrize-metodoak erabiliz ekuazio linealen sistemak ebaztean, bi prozedura alternatiboak erabili ohi dira: alderantzizko matrizea eta Gauss-en ebazpen metodoa.

Alderantzizko matrize-metodoa (15 gaia ikusi) C-ren alderantzizko matrizea aurkitzean datza, ezezagunen matrizea lortzeko, C-1 × B eragiketa eginez.

X = C-1 × B

Beste alde batetik, Gauss-en ebazpen-metodoa (15 gaia ikusi) sistemako matrize zabalduaren baliokidea den matrize triangeluarra lortzean datza.

Interpretazio geometrikoa

ax + by + cz + d = 0 motako ekuazioa, geometrikoki hartuta, plano baten ekuaziotzat har daitekeela kontuan izanez gero, hiru ekuazio linealen sistema karratu bat eta espazio kartesiarrako hiru plano baliokideak dira. Horrela, sistemaren emaitzak hiru planoen arteko konfluentzia puntuak dira.

Bi planoren posizio erlatiboen azterketa geometrikoan, hiru egoera ager daitezke:

  • Planoak zuzen komun batean elkar ebakiz gero, ebakitzaileak direla esaten da.
  • Euren puntu guztiak komunean dituztenean, kointzidenteak dira.
  • Elkar ebaki ezean, paraleloak dira.

Espazioko planoen azterketa geometrikoa interesgarria da ekuazio linealen sistemen diskuziorako.

Cramer-en erregela

Esaten da ekuazio linealen sistema bat Cramer-ena dela ondoko baldintza hauek betetzen dituenean:

  • Sistema karratua da, ekuazio eta ezezagun kopuru berdinekin.
  • Elkartutako koefizienteen matrizearen determinatzailea ez da zero.

Horren ondorioz, Cramer-en sistema bat bateragarri mugatua izaten da beti (emaitza bakarra du).

Ekuazio linealen sistemaren xi ezezaguna kalkulatzeko, koefizienteen matrizearen i zutabea termino askeengatik ordezkatuko da, sortutako matrizearen determinatzailea lortu eta koefizienteen matrizearen determinatzailearengatik zatitu egingo da. Horrenbestez, Cramer-en sistema baten ebazpena Xi ezezagun bakoitza aurkituz lortuko da, ondoko formula honen arabera:

ezezagunari dagokion koefizienteen matrizearen zutabea termino askeenaren ordezkatzetik sortutako matrizea Ci da.

Sistema baten ebazpena, Cramer-en erregela erabiliz.

Orria posta elektronikoz bidali

< * Bete beharreko alorrak

Eskerrik Asko.
artikuluan arrakastaz bidalita da.

cerrar ventana
Lagun iezaguzu hobetzen! Zure iritzia garrantzitsua da, eta horregatik eskertuko genizuke zure iritziak eta iradokizunak info@hiru.eus helbidera bidaltzea.

* Bete beharreko alorrak
cerrar ventana

 

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

 

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

  • facebook

    Facebook

    Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.

     
  • eskup

    Eskup

    Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

     
  • delicious

    Twitter

    Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.

     
  • tuenti

    Tuenti

    Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

     
  • technorati

    Google Buzz

    Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.

     
  • meneame

    Meneame

    Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

     
 

 

cerrar ventana

Derechos de reproducción de la obra

 

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailarenak dira hiru.eus webgunearen eta bertan agertzen diren elementu guztien jabetza intelektualaren eskubideak.

Halere, baimenduta dago hezkuntzaren esparruan hiru.eus-eko edukiak erabiltzea, betiere webguneari aipamena egiten bazaio eta Creative Commons CC-BY-NC-SA lizentziaren baldintzapean.
Informazio gehiagorako: pdf dokumentua jaitsi (943,2k).

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak bere buruari aitortzen dio, edozein unetan eta aurretiaz ohartarazi gabe, bere webguneko informazioa edota haren konfigurazioa edo itxura aldatzeko eta eguneratzeko ahalmena.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bermatzen ez dela akatsik egongo webguneko sarbidean, ezta han jasotako edukietan ere. Era berean, ez du ziurtatzen eduki hori behar bezala eguneratuta egongo denik. Dena den, beharrezko ahalegin guztia egingo du akats horiek saihesteko, eta, hala behar izanez gero, ahalik eta azkarren konpontzeko edo eguneratzeko.

Webgunera sartzea eta bertan jasotako informazioaz egiten den erabilera soilik erabiltzailearen erantzukizuna dira. Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du inolako erantzukizunik izango webgunera sartzeak edo hango informazioa erabiltzeak sor litzakeen ondorio edo kalteen aurrean, bere eskumenen erabilera zehatzetan jarraitu behar dituen legezko xedapenak ezartzearen ondorio diren egintza guztietan izan ezik.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bere gain hartzen webgunean aipatzen diren kanpoko beste esteka batzuetara konektatzetik edo haietan jasotako edukietatik erator daitekeen inolako erantzukizunik.

Webgune honetan jasotako informazioa baimenik gabe edo oker erabiltzeak eta Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren jabego intelektual eta industrialaren eskubideetan sorturiko kalte eta galerek legez dagozkion egintzak erabiltzeko bidea emango diote aipatutako Administrazioari, eta, hala badagokio, erabilera horren ondorio diren erantzukizunak hartuko ditu.

  Pribatutasuna

Interesatuak emandako datuak dagokion prozedura edo egintzan aurreikusitako helburuetarako baino ez dira erabiliko.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saileko Etengabeko Ikaskuntzako Zuzendaritza da datu horiek biltzen dituen fitxategiaren erantzulea, eta haren aurrean egikaritu ahal izango dira sartzeko, zuzentzeko, deuseztatzeko eta aurka egiteko eskubideak. Horretarako, eskura duzu info@hiru.eus helbide elektronikoa.

cerrar ventana