Lehen mailako ekuazioak

Matematikan ekuazioen planteamenduak arazoak eta pentsamenduak sinbolikoki adieraztearen beharrari erantzuten dio. Bere proposizio matematikoak azaltzeko notazio sinbolikoa eta ez bakarrik logikoa proposatu zuen lehena Alexandriako Diofanto izan zen K.a.III. mendean. Horregatik lehen ekuazio algebraikoei diofantikoak deitu zitzaien.

Berdintzak, identitateak eta ekuazioak

Adierazpen algebraikoa zera da: kalkuluaren eragiketen zeinuen bitartez elkartutako zenbakien eta letren nahasketa. Bi adierazpen algebraiko berdintzean, berdintza bat lortzen da.

Adierazpen algebraikoen berdintzari ekuazioa deitzen zaio, bakar-bakarrik aldagai edo aldagaien (ekuazioaren emaitzak) zenbait baliorentzat betetzen denean; eta identitatea, dauzkan aldagai edo aldagaien (ezezagunak) balio guztientzat betetzen bada. Bi ekuazio baliokideak dira ebazpen ber-berak badituzte.

Bidaiari! Hilobi honetan datza Diofantoren gorpua. Testu hau irakurri ondoren haren bizitzari buruzko datuak jakin ahal izango dituzu. Haurtzaroak bere bizitzaren seirena hartu zuen, gero hamabirena igaro zen haren masaila biloz bete zen arte.Haren bizitzaren zazpirena igaro zen ezkondu arte. Bost urte geroago lehen semea jaio zen, hura aitaren adin osoaren erdia zuenean hil zen.Lau urte goibel-goibelak eman ondoren, semearen heriotzagatik zeharo hunkituta, hil egin zen Diofanto. Honetatik guztiagatik, esadazu zenbat urte bizi izan zen Diofanto.

K.o. V. edo VI. mendeko epigrama, Diofantoren ikasle batek proposaturikoa ekuazio moduan, jakintsu greko honen bizitzari buruzko datuak azaltzeko.

Ekuazio-motak

Ekuazio algebraikoak irizpide desberdinen arabera sailkatzen dira:

  • Ezezagun kopuruaren arabera: ezezagun bat, bi, hiru,..., edo n ezezagun dituzten ekuazioak.
  • Gradu goreneko terminoaren arabera: lehen mailakoak (linealak), bigarren mailakoak (koadratikoak), hirugarren mailakoak (kubikoak), ... n mailakoak.
  • Aldagaiak aurkezteko moduaren arabera: osoak, izendatzailean ezezagunik ez dagoenean; zatikizkoak, izendatzaileren batean ezezagunak dituztenak; arrazionalak, ezezagunak erro karratuetan, erro kubikoetan eta abarretan azaltzen ez badira; eta azkenik irrazionalak, ezezagunak aipatutako erro horietakoren baten barnean azaltzen badira.

Berdintzen ezaugarriak

Ekuazio algebraikoen ebazpenerako beharrezkoa da kontuan izatea berdintzen oinarrizko ezaugarriak:

  • Ekuazio baten bi atalei zenbaki bera batzen edo kentzen zaienean, ekuazio baliokidea lortzen da.
  • Ekuazioaren bi atalak zenbaki berarekin biderkatzen edo zatitzen badira, ebazpena ekuazio baliokidea da. Zatitzen denean zero ez den beste zenbaki batekin izan behar da.

Ezaugarri hauek zatiak tokiz aldatzeko erabiltzen dira eta osagarriak diren bi tekniken bitartez egiten da:

  • Ekuazioaren bi ataletan batzea atal batetik bestera aldatu nahi den zatiaren kontrako balioa (ikurra aldatuz).
  • Tokiz aldatu nahi den zatiaren alderantzizkoarekin biderkatzea bi atalak.

Lehen mailako ekuazioak ezezagun batekin

Eragiketa algebraikoen emaitza ekuazio baliokideen kontzeptuan oinarritzen da. Ideia honek aplikazio berezia du ekuazio linealetan edo lehen mailakoetan ezezagun bakarra dagoenean (normalean x-ez adierazia), beti zatien zenbakitzailean eta 1 gradura jasoa. Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioaren adibide honako hau da: 3x + 5 = 4 × (1 - x) + 2x.

Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak ebazteko, jarraian dagoen adibidean azaltzen den prozedura orokorra erabiltzen da:

Demagun ekuazio hau:

Ebazteko ondorengo pausu hauek jarraitu behar dira:

  • 1. Izendatzaileak kendu egiten dira, bi atalak biderkatuz azaltzen diren izendatzaile guztien multiplo komunetan txikienarekin (adibidean 12 da). Orduan, honako hau lortzen da: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x
  • 2. Parentesiak kendu egiten dira, eta hau geratzen da: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x
  • 3. Zatiak tokiz aldatu egiten dira, ezezaguna dutenak alde batean elkartuz, eta ez dutenak beste aldean: 9x + 48x - 16x = 48 - 48
  • 4. Bi atalak sinplifikatu egiten dira, behar diren eragiketak eginez: 41x = 0
  • 5. Ezezaguna bakandu egiten da: x = 0
  • 6. Eragiketa ondo dagoen ala ez frogatu egiten da hasierako ekuazioan ezezaguna ordezkatuz.

Inekuazioak

Berdintza eta ekuazio kontzeptuekin batera defini daitezke desberdintza eta inekuazioa. Desberdintza bat ondorengo honengatik gertatzen da: txikiago (<), handiago (>), txikiago edo berdin (£) edo handiago edo berdin (³) ikurren bidez bereizita dauden bi adierazpen algebraiko alderatzeagatik. Desberdintza honen emaitza inekuazio bat da.

Inekuazio bat ebaztea egiaztatzen duten balioa edo balioen multzoa (erroak) aurkitzea da. Honela, emaitza bera duten inekuazio desberdinei baliokideak deitzen zaie. Inekuazioaren adibide bat honako hau izan daiteke: 3x + 5 ³ 4 × (1 - x) + 2x.

Desberdintzen ezaugarriak

Inekuazioak ebazteko desberdintzen ezaugarri hauek hartzen dira kontuan:

  • Inekuazio baten bi atalei zenbaki bera batzen edo kentzen zaionean, inekuazio baliokidea lortzen da.
  • Inekuazioren bi atalak zenbaki edo kantitate positiboarekin biderkatzen edo zatitzen badira, ebazpena inekuazio baliokidea da; zenbaki edo kantitate hori negatiboak badira, lortzen den inekuazioa ere baliokidea da, baina desberdintzaren ikurra alderantzikatu egin behar da.

Ezaugarri hauek erabiltzen dira, ekuazioetan bezalaxe, atalak tokiz aldatzeko eta erroak edo ebazpenak lortzeko.

Orria posta elektronikoz bidali

< * Bete beharreko alorrak

Eskerrik Asko.
artikuluan arrakastaz bidalita da.

cerrar ventana
Lagun iezaguzu hobetzen! Zure iritzia garrantzitsua da, eta horregatik eskertuko genizuke zure iritziak eta iradokizunak info@hiru.eus helbidera bidaltzea.

* Bete beharreko alorrak
cerrar ventana

 

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

 

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

  • facebook

    Facebook

    Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.

     
  • eskup

    Eskup

    Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

     
  • delicious

    Twitter

    Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.

     
  • tuenti

    Tuenti

    Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

     
  • technorati

    Google Buzz

    Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.

     
  • meneame

    Meneame

    Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

     
 

 

cerrar ventana

Derechos de reproducción de la obra

 

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailarenak dira hiru.eus webgunearen eta bertan agertzen diren elementu guztien jabetza intelektualaren eskubideak.

Halere, baimenduta dago hezkuntzaren esparruan hiru.eus-eko edukiak erabiltzea, betiere webguneari aipamena egiten bazaio eta Creative Commons CC-BY-NC-SA lizentziaren baldintzapean.
Informazio gehiagorako: pdf dokumentua jaitsi (943,2k).

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak bere buruari aitortzen dio, edozein unetan eta aurretiaz ohartarazi gabe, bere webguneko informazioa edota haren konfigurazioa edo itxura aldatzeko eta eguneratzeko ahalmena.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bermatzen ez dela akatsik egongo webguneko sarbidean, ezta han jasotako edukietan ere. Era berean, ez du ziurtatzen eduki hori behar bezala eguneratuta egongo denik. Dena den, beharrezko ahalegin guztia egingo du akats horiek saihesteko, eta, hala behar izanez gero, ahalik eta azkarren konpontzeko edo eguneratzeko.

Webgunera sartzea eta bertan jasotako informazioaz egiten den erabilera soilik erabiltzailearen erantzukizuna dira. Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du inolako erantzukizunik izango webgunera sartzeak edo hango informazioa erabiltzeak sor litzakeen ondorio edo kalteen aurrean, bere eskumenen erabilera zehatzetan jarraitu behar dituen legezko xedapenak ezartzearen ondorio diren egintza guztietan izan ezik.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bere gain hartzen webgunean aipatzen diren kanpoko beste esteka batzuetara konektatzetik edo haietan jasotako edukietatik erator daitekeen inolako erantzukizunik.

Webgune honetan jasotako informazioa baimenik gabe edo oker erabiltzeak eta Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren jabego intelektual eta industrialaren eskubideetan sorturiko kalte eta galerek legez dagozkion egintzak erabiltzeko bidea emango diote aipatutako Administrazioari, eta, hala badagokio, erabilera horren ondorio diren erantzukizunak hartuko ditu.

  Pribatutasuna

Interesatuak emandako datuak dagokion prozedura edo egintzan aurreikusitako helburuetarako baino ez dira erabiliko.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saileko Etengabeko Ikaskuntzako Zuzendaritza da datu horiek biltzen dituen fitxategiaren erantzulea, eta haren aurrean egikaritu ahal izango dira sartzeko, zuzentzeko, deuseztatzeko eta aurka egiteko eskubideak. Horretarako, eskura duzu info@hiru.eus helbide elektronikoa.

cerrar ventana