Determinantes

Los determinantes constituyen potentes herramientas que se utilizan comúnmente para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Aunque anteriores históricamente a las matrices, en la actualidad se emplean como entidades matemáticas complementarias de éstas últimas.

Determinantes y matrices

El determinante correspondiente a una matriz cuadrada A, es el valor de la suma de determinados productos que se realizan con los elementos que componen la matriz.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, su determinante se denota por el símbolo |A| o det (A). El cálculo del valor de este determinante se realiza según diversos procedimientos.

Determinantes de orden 2

El caso más sencillo de determinante es el que corresponde a una matriz cuadrada orden 2. Entonces, el determinante es un número real obtenido como la siguiente suma de factores:

Regla de Sarrus

Cuando la matriz original A es de orden 3, para calcular su determinante se recurre al uso de la llamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seis términos:

  • Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los tres elementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas a esta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto.
  • Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los tres elementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el vértice opuesto.

Es decir, dada una matriz A:

Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dado por:

Menores complementarios

Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario a cada una de la matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y la columna donde se encuentra un elemento (aij) de la matriz original.

Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3

pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:

Adjunto y matriz adjunta

Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij al valor del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1) elevado a i más j. Es decir:

Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota por A* o Adj(A), como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntos respectivos:

Desarrollo de un determinante

El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de los elementos de su matriz correspondiente. Así, dada una matriz A, el valor de su determinante |A| es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una de sus filas o sus columnas por los adjuntos respectivos de dichos elementos. Por ejemplo, si:

En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, un determinante puede desarrollarse por filas o por columnas.

Este tipo de desarrollo permite calcular el valor del determinante de matrices cuadradas de orden superior a 3, simplemente reduciendo este orden sucesivamente, por la regla de los adjuntos, hasta 3, y después aplicando la regla de Sarrus.

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